TUGAS MANDIRI I - KALKULUS I KAMPUS MILENIAL ITBI

NAMA          : BUNGA LESTARI

JURUSAN    : SISTEM INFORMASI S1

KELAS         : EKSEKUTIF

1. Jelaskan pengertian bilangan riil!

Jawaban    : Bilangan riil atau bilangan real adalah sistem bilangan yang dapat ditulis dalam bentuk desimal. Angka desimal adalah angka berbasis 10 yang dibentuk dari angka 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ahli matematika mendefinisikan notasi bilangan real sebagai simbol ℝ yang merupakan gabungan dari himpunan bilangan rasional dan himpunan bilangan irasional. 

2. Jelaskan macam - macam bilangan rill dan berikan contoh - contohnya!

Jawaban    :

 1. Bilangan Asli (A)

Bilangan asli merupakan bilangan yang sering kita gunakan, seperti untuk menghitung banyaknya pengunjung dalam suatu pertunjukan seni atau banyaknya tamu yang menginap di hotel tertentu. Bilangan asli sering pula disebut sebagai bilangan natural karena secara alamiah kita mulai menghitung dari angka 1, 2, 3, dan seterusnya. Bilangan-bilangan tersebut membentuk suatu himpunan bilangan yang disebut sebagai himpunan bilangan asli. Dengan demikian, himpunan bilangan asli didefinisikan sebagai himpunan bilangan yang diawali dengan angka 1 dan bertambah satu-satu. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf A dan anggota himpunan dari bilangan asli dinyatakan sebagai berikut.

Bilangan Asli dapat digolongkan menjadi :

1. Bilangan Genap, yaitu bilangan asli yang habis dibagi 2. Himpunan bilangan genap dilambangkan dengan huruf G.
   Anggota himpunan bilangan genap yaitu, G = { 2, 4, 6, 8, … }.
2. Bilangan Ganjil, yaitu bilangan asli yang tidak habis dibagi 2. Himpunan bilangan ganjil dilambangkan dengan huruf J.
   Anggota himpunan bilangan ganjil yaitu, J = { 1, 3, 5, 7, … }.
3. Bilangan Prima, yaitu bilangan asli yang tepat memiliki 2 faktor ( 1 dan dirinya sendiri ). Himpunan bilangan prima dilambangkan dengan huruf P.
   Anggota himpunan bilangan prima yaitu P = { 2, 3, 5, 7, 11, …

2. Bilangan Cacah

    Dalam sebuah survei mengenai hobi siswa di kelas tertentu, diketahui bahwa banyak siswa yang hobi membaca 15 orang, hobi jalan-jalan sebanyak 16 orang, hobi olahraga sebanyak 9 orang dan tidak ada siswa yang memilih hobi menari. Untuk menyatakan banyaknya anggota yang tidak memiliki hobi menari tersebut, digunakan bilangan 0. Gabungan antara himpunan bilangan asli dan himpunan bilangan 0 ini disebut sebagai himpunan bilangan cacah. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf C dan anggota himpunan dari bilangan cacah dinyatakan seperti di bawah ini :

Pada bilangan asli kita dapat mengadakan operasi pengurangan

Misalnya: 7 – 5 = 2,    20 – 8 = 12,  tetapi bagaimana dengan 5 – 5 = ? Oleh karena itu dikenal bilangan nol, sehingga 5 – 5 = 0 Bilangan asli dan nol dinamakan Bilangan Cacah.

3. Bilangan Bulat

    Himpunan bilangan bulat adalah gabungan antara himpunan bilangan cacah dan himpunan bilangan bulat negatif. Bilangan ini dilambangkan dengan huruf B dan anggota himpunan dari bilangan bulat dinyatakan sebagai berikut:

Dalam operasi pengurangan pada bilangan cacah terdapat bilangan negatif. 

Misalnya:  3 – 5 = -2 ,  20 – 35 = -15

Bilangan asli, nol dan bilangan negatif dinamakan bilangan bulat.

4. Bilangan Rasional

    Himpunan bilangan rasional adalah himpunan bilangan yang dapat dinyatakan

dalam bentuk dengan p, q є B dan q ≠ 0. Bilangan p disebut pembilang dan q disebut penyebut. Himpunan bilangan rasional dilambangkan dengan huruf Q. Himpunan dari bilangan rasional dinyatakan sebagai berikut :

Bilangan rasional (disebut juga bilangan pecahan) adalah bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk  dengan p, q є B dan q ≠ 0.

Contoh bilangan rasional (Q) = 2; 0,3; ;  ; 1,321321321…

5. Bilangan Irasional

    Bilangan irasional adalah bilangan desimal yang tidak berulang (tidak berpola), misalnya: 2 , π, e, log 2. Himpunan bilangan ini dilambangkan dengan huruf I.

Bilangan irasional adalah bilangan yang tidak dapat dinyatakan dalam bentuk dengan p, q є B dan q ≠ 0.

Contoh : V2, V5, , log 5 ,…

3. Jelaskan sifat - sifat bilangan rill!

Jawaban    : 

1. Hukum Komutatif : x + y = y + x dan xy = yx 

2. Hukum Asosiatif : x + (y + z) = (x + y) + z dan x(yz) = (xy)z

3. Hukum Distribusi : x(y + z) = xy + xz 

4. Elemen Identitas : terhadap penjumlahan : 0 , dan terhadap perkalian : 1 

5. Elemen Invers : terhadap penjumlahan adalah negatif dari bilangan tersebut, dan terhadap perkalian adalah kebalikan dari bilangan tersebut (kecuali nol)

4. Jelaskan definisi dan sifat fungsi dalam matematika!

Jawaban    : 

- Definisi Fungsi

    Fungsi merupakan suatu relasi yang memetakan setiap anggota dari suatu himpunan yang disebut sebagai daerah asal atau domain ke tepat satu anggota himpunan lain yang disebut daerah kawan (kodomain).Secara umum, jika f merupakan suatu fungsi yang memetakan setiap anggota di domain A ke kodomain B, maka f dapat dinotasikan dengan

$$\begin{aligned} f : A \rightarrow B \end{aligned}

- Sifat Fungsi

    Berikut adalah sifat-sifat dari fungsi.

1. Semua anggota di domain harus mempunyai pasangan dengan tepat satu pasangan di kodomain.

2. Tidak semua anggota kodomain harus berpasangan dengan anggota di domain.

3. Anggota kodomain dapat memiliki lebih dari satu pasangan di domain.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan ilustrasi beberapa pemetaan berikut.

    Gambar a dan b merupakan fungsi karena memenuhi ketiga sifat yang telah disebutkan. Gambar c bukan fungsi karena terdapat anggota domain A yang tidak terpetakan dengan anggota di B. Gambar d juga bukan fungsi karena terdapat anggota domain A yaitu a2 yang dipetakan ke dua buah anggota yaitu b1 dan b3 di kodomain B

5. Berikan 5 contoh aplikasi fungsi matematika dalam kehidupan sehari - hari!

Jawaban    :

Berikut  beberapa  penerapan  ilmu  matematika  tentang  komposisi  fungsi  dan  invers dalam kehidupan sehari-hari.

1.Proses  pembuatan  buku  diproses  melalui  2  tahap  yaitu  tahap  editorial  dilanjutkan dengan  tahap  produksi.  Pada  tahap  editorial,  naskah  diedit  dan  dilayout  sehingga menjadi  file  yang  siap  dicetak.  Kemudian,  file  diolah  pada  tahap  produksi  untuk mencetaknya menjadi sebuah buku. Proses pembuatan buku ini menerapkan algoritma fungsi komposisi.

2.Untuk mendaur ulang logam, awalnya pecahan logam campuran dihancurkan menjadi serpihan  kecil.  Drum  magnetic  pada  mesin  penghancur  menyisihkan  logam  magnetic yang memuat unsure besi. Lalu sisa pecahan logam dikeruk dan dipisahkan, sedangkan serpihan   besi   dilebur   menjadi   baja   baru.   Proses   pendaur   ulang   logam   tersebut menggunakan fungsi komposisi.

3.Di bidang ilmu yang lain fungsi komposisi dan inver juga di terapkan seperti:

    a. Di  bidang  ekonomi  :  digunakan  untuk  menghitung  dan  memperkirakan  sesuatu seperti fungsi permintaan dan penawaran.

     b. Di bidang  kimia : digunakan untuk menentukan waktu peluruhan unsur

     c. Di  bidang  geografi  dan  sosiologi  :  digunakan  untuk  optimasi  dalam  industry  dan kepadatan penduduk.

     d.Dalam ilmu fisika sering digunakan persamaan  fungsi kuadrat untuk menjelaskan fenomena gerak.

4.Ada  berbagai  masalah  dalam  kehidupan  sehari-hari  yang  dapat  diselesaikan  dengan menggunakan fungsi komposisi seperti uraian berikut.

a.Harga  jual  p  dari  suatu  komoditas  ekspor  hasil  hutan  dan  jumlah  terhual  x, memenuhi persamaan

P = ¼ x + 150 dengan 0 ≤ x ≤1.000

Misalkan biaya C dari produksi per unit adalah

Jika  kita  mempelajari  dan  memahami  fungsi  komposisi  dengan  baik,  kita  dapat menentukan biaya C sebagai fungsi dan harga p ketika semua unit yang diproduksi terjual

5. Penerapan  komposisi  fungsi  juga  terdapat  dalam  permainan  sepak  bola  seperti  Penyusunan pemain atau formasi pemain dalam tim